Lingkaran dua bulatan sepusat adalah 16 cm dan 10 cm. AB adalah diameter lingkaran yang lebih besar. BD adalah tangen kepada bulatan yang lebih kecil menyentuhnya di D. Apakah panjang AD?

Jawapan:

#bar (AD) = 23.5797 #

Penjelasan:

Mengguna pakai asal #(0,0)# sebagai pusat yang sama untuk # C # dan # C # dan memanggil # r_i = 10 # dan # r_e = 16 # titik tangen # p_0 = (x_0, y_0) # berada di persimpangan #C_i nn C_0 # di mana

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

di sini # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Penyelesaian untuk #C_i nn C_0 # kita ada

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # jadi

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # dan # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Akhirnya jarak yang dicari adalah

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

atau

#bar (AD) = 23.5797 #

Penjelasan:

Jika #bar (BD) # adalah tangen untuk # C # kemudian #hat (ODB) = pi / 2 # jadi kita boleh memohon pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # menentukan # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Tujuan itu # D # koordinat, dipanggil # (x_0, y_0) # perlu diperoleh sebelum mengira jarak yang dicari #bar (AD) #

Terdapat banyak cara untuk melakukannya. Kaedah alternatif ialah

# y_0 = bar (BD) sin (hat (OBD)) # tetapi #sin (hat (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

kemudian

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # dan

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Seperti yang diberikan data angka di atas telah disediakan.

O adalah pusat yang sama dengan dua kalangan sepusat

#AB -> "garis pusat lingkaran yang lebih besar" #

# AO = OB -> "jejari bulatan yang lebih besar" = 16 cm #

#DO -> "jejari bulatan yang lebih kecil" = 10cm #

#BD -> "tangen kepada bulatan yang lebih kecil" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Biarkan # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

In #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Memohon undang-undang kosine di #Delta ADO # kita mendapatkan

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #