Bagaimana untuk mengintegrasikan int e ^ x sinx cosx dx?

Jawapan:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Penjelasan:

Pertama kita boleh menggunakan identiti:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

yang memberi:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Sekarang kita boleh menggunakan integrasi oleh bahagian-bahagian. Rumusannya ialah:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x)

Saya akan biarkan #f (x) = sin (2x) # dan #g '(x) = e ^ x / 2 #. Menggunakan formula, kami dapat:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Sekarang kita boleh mengaplikasikan integrasi dengan bahagian sekali lagi, kali ini #f (x) = cos (2x) # dan #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2 (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx)

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int

Sekarang kita mempunyai integral di kedua-dua belah persamaan, sehingga kita dapat menyelesaikannya seperti persamaan. Pertama, kami menambah 2 kali ganda kepada kedua-dua pihak:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x)

Oleh kerana kami menginginkan separuh sebagai pekali pada integral asal, kami membahagikan kedua belah pihak #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C =

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Jawapan:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Penjelasan:

Kami mencari:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Yang menggunakan identiti:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Kita boleh menulis sebagai:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Di mana untuk kemudahan yang kami maksudkan:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, dan # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Sekarang, kami melakukan integrasi dengan bahagian sekali lagi.

Biarkan # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x)

Kemudian memasukkan formula IBP yang kami dapat:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Sekarang, kita mempunyai dua persamaan serentak dalam dua yang tidak diketahui # I_S #. dan #KAD PENGENALAN#, jadi menggantikan B ke A kita ada:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Membawa kepada:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #