Bagaimana untuk mengembangkan dalam siri Maclaurin ini? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Jawapan:

x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visual: Lihat grafik ini

Penjelasan:

Kami dengan jelas tidak dapat menilai integral ini kerana menggunakan salah satu teknik integrasi tetap yang telah kami pelajari. Walau bagaimanapun, kerana ia adalah integral yang pasti, kita boleh menggunakan siri MacLaurin dan melakukan apa yang dipanggil istilah dengan integrasi istilah.

Kita perlu mencari siri MacLaurin. Oleh kerana kita tidak mahu mencari derivatif n fungsi itu, kita perlu mencuba dan menyesuaikannya dengan salah satu siri MacLaurin yang sudah kita ketahui.

Pertama, kita tidak suka # log #; kami mahu membuatnya # ln #. Untuk melakukan ini, kita hanya boleh menggunakan formula asas perubahan:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Jadi kami mempunyai:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Mengapa kita melakukan ini? Nah, sekarang perhatikan itu # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Mengapa ini begitu istimewa? Nah, # 1 / (1-x) # adalah salah satu siri MacLaurin yang biasa digunakan:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…untuk semua # x # pada #(-1, 1#

Jadi, kita boleh menggunakan hubungan ini dengan kelebihan kita, dan ganti #ln (1-t) # dengan # int-1 / (1-t) dt #, yang membolehkan kita menggantikannya # ln # Istilah dengan siri MacLaurin. Meletakkan ini bersama-sama memberikan:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n

Menilai integral:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Membatalkan # t # istilah dalam penyebut:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Dan sekarang, kita mengambil integral yang pasti kita memulakan masalah dengan:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Catatan: Perhatikan bagaimana kita sekarang tidak perlu risau tentang membahagikan dengan sifar dalam masalah ini, yang merupakan isu yang kita akan mempunyai dalam integrasi asal kerana # t # istilah dalam penyebut. Oleh kerana ini dibatalkan dalam langkah terdahulu, ia menunjukkan bahawa ketetapan itu boleh ditanggalkan, yang berfungsi dengan baik untuk kita.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) 2 # dinilai dari #0# kepada # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) 2 #

Pastikan anda menyedari, bahawa siri ini hanya baik pada selang waktu #(1, 1#, kerana siri MacLaurin yang kami gunakan di atas hanyalah konvergen pada selang ini. Semak graf ini yang saya buat untuk mendapatkan gambaran yang lebih baik tentang apa yang kelihatan seperti ini.

Harap yang membantu:)

U_1, u_2, u_3, ... berada dalam kemajuan Geometrik (GP). Nisbah umum istilah dalam siri ini ialah K.Now menentukan jumlah siri u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) dalam bentuk K dan u_1?

(k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Istilah umum suatu perkembangan geometri boleh ditulis: = ar ^ (k-1) di mana a adalah istilah awal dan r nisbah biasa. Jumlah untuk n term diberikan oleh formula: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) warna (putih) () Dengan maklumat yang diberikan dalam soalan, formula umum untuk u_k boleh Tuliskan: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Jadi: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) warna (putih) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (K = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) warna (putih) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + (k = 1)

Bagaimanakah anda dapati tiga deretan pertama siri Maclaurin untuk f (t) = (e ^ t - 1) / t menggunakan siri Maclaurin e ^ x?

Kita tahu bahawa siri Maclaurin e ^ x adalah sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Kita juga dapat memperoleh siri ini dengan menggunakan pengembangan Maclaurin f (x) = sum_ (n = 0) oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) dan fakta bahawa semua derivatif e ^ x masih e ^ x dan e ^ 0 = 1. Sekarang, cobalah siri di atas ke dalam (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) oox ^ (n-1) / (n!) Jika anda mahu indeks bermula pada i = 0, tukar ganti n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / !) Sekarang, hanya menilai tiga istilah pertam

Bagaimana anda menggunakan siri binomial untuk mengembangkan sqrt (1 + x)?

Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = jumlah (1/2) _k / (k!) x ^ k dengan x dalam CC Gunakan generalisasi formula binomial kepada nombor kompleks. Terdapat generalisasi rumus binomial kepada nombor kompleks. Formula siri binomial umum nampaknya (1 + z) ^ r = sum (r) _k) / (k!) Z ^ k dengan (r) _k = r (r-1) (r-2). (r-k + 1) (mengikut Wikipedia). Mari kita gunakannya untuk ungkapan anda. Ini adalah siri kuasa yang sangat jelas, jika kita ingin mempunyai peluang bahawa ini tidak menyimpang kita perlu menetapkan absx <1 dan ini adalah bagaimana anda mengembangkan sqrt (1 + x) dengan siri binomial. Saya tidak akan menunjukkan for