Bagaimana anda menggunakan siri binomial untuk mengembangkan sqrt (1 + x)?

Jawapan:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = jumlah (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # dengan #x dalam CC #

Gunakan generalisasi formula binomial kepada nombor kompleks.

Penjelasan:

Terdapat generalisasi rumus binomial kepada nombor kompleks.

Formula siri binomial umum nampaknya # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) Z ^ k # dengan # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (mengikut Wikipedia). Mari kita gunakannya untuk ungkapan anda.

Ini adalah siri kuasa yang sangat jelas, jika kita ingin mempunyai peluang bahawa ini tidak menyimpang kita perlu ditetapkan #absx <1 # dan ini adalah bagaimana anda berkembang #sqrt (1 + x) # dengan siri binomial.

Saya tidak akan menunjukkan formula itu benar, tetapi ia tidak terlalu sukar, anda hanya perlu melihat bahawa fungsi kompleks yang ditakrifkan oleh # (1 + z) ^ r # adalah holomorphic pada cakera unit, kira setiap terbitannya pada 0, dan ini akan memberi anda formula Taylor fungsi, yang bermaksud anda boleh membangunkannya sebagai siri kuasa pada cakera unit kerana #absz <1 #, dengan itu hasilnya.

Bagaimanakah anda menggunakan siri binomial untuk mengembangkan (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 Pengembangan siri binomial untuk (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 diberikan oleh: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Jadi, kita mempunyai: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^

Bagaimana anda menggunakan Teorem Binomial untuk mengembangkan (x-5) ^ 5?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n) (r)) a ^ (nr) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / x) ^ 5 = sum_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (5!) / (0! (5-0)!) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1! (5-1) 5-1) x ^ 1 + (5!) / (2! (5-2)!) (- 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5!) / (5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5!) / (4! (5-4)!) (- 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5!) / (5-5)! (5-5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1! 4!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2! 3!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / (3! 5) ^ 2x ^ 3 + (5!) / (4! 1!) (- 5) x ^ 4 + (5!) / (5! 0!) X ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = -5) ^ 5 + 5 (-5) ^ 4x + 10

Bagaimana anda menggunakan siri binomial untuk mengembangkan sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Saya agak seperti cek ganda kerana sebagai pelajar fizik saya jarang dapatkan lebih daripada (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx untuk x kecil jadi saya agak berkarat. Siri binomial adalah kes khusus teorem binomial yang menyatakan bahawa (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Dengan ((n) (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Apa yang kita ada ialah (z ^ 2-1) ^ (1/2) , ini bukan bentuk yang betul. Untuk membetulkan ini, ingat bahawa i ^ 2 = -1 jadi kita mempunyai: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) kini dalam bentuk yang betul dengan x = -