X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 mempunyai satu akar x = sqrt (2) + sqrt (3). Apakah tiga akar yang lain dan mengapa?

Jawapan:

Tiga akar yang lain adalah #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # dan #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Kenapa, beritahu saya cerita …

Penjelasan:

Nyatakan kehidupan rasional di bandar Algebra.

Dia tahu semua nombor borang # m / n # di mana # m # dan # n # adalah bilangan bulat dan #n! = 0 #.

Dia agak senang menyelesaikan polinomial seperti # 3x + 8 = 0 # dan # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, tetapi terdapat banyak teka-teki kepadanya.

Walaupun polinomial kelihatan seperti mudah # x ^ 2-2 = 0 # nampaknya tidak dapat dibuktikan.

Jirannya yang kaya, Encik Real, mengasihani dia. "Apa yang anda perlukan adalah apa yang dipanggil akar kuadrat #2#. Di sini anda pergi. "Dengan kata-kata ini, Encik Real menyerahkan nombor biru berkilat misteri yang dipanggil # R_2 # kepada Encik Rational. Semua dia diberitahu mengenai nombor ini ialah itu # R_2 ^ 2 = 2 #.

Encik Rational kembali ke pengajiannya dan bermain dengan misteri ini # R_2 #.

Setelah beberapa saat dia mendapati bahawa dia boleh menambah, menolak, membiak dan membahagikan nombor borang # a + b R_2 # di mana # a # dan # b # adalah rasional dan berakhir dengan nombor yang sama bentuknya. Dia juga melihatnya # x ^ 2-2 = 0 # mempunyai penyelesaian lain, iaitu # -R_2 #.

Dia kini mampu menyelesaikannya bukan sahaja # x ^ 2-2 = 0 #, tetapi # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # dan banyak lagi.

Banyak polinomial lain masih mengelakkan penyelesaian. Sebagai contoh, # x ^ 2-3 = 0 #, tetapi Encik Real gembira memberikan kepadanya nombor hijau berkilat yang dipanggil # R_3 # yang menyelesaikannya.

Encik Rasional tidak lama lagi mendapati bahawa dia dapat menyatakan semua nombor yang boleh dibuatnya # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, di mana # a #, # b #, # c # dan # d # adalah rasional.

Pada suatu hari Encik Rational telah pergi menyelesaikannya # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Dia mendapati itu # x = R_2 + R_3 # adalah satu penyelesaian.

Sebelum dia mencari lebih banyak penyelesaian, dia bertemu dengan jirannya, Encik Real. Dia mengucapkan terima kasih kepada Encik Real atas hadiah # R_2 # dan # R_3 #, tetapi mempunyai pertanyaan mengenai mereka. "Saya lupa untuk bertanya:", dia berkata, "Adakah mereka positif atau negatif?". "Saya tidak fikir awak akan peduli.", Kata Encik Real. "Selagi anda menyelesaikan polinomial dengan koefisien rasional, ia tidak begitu penting. Peraturan yang anda temukan untuk menambah, menolak, mengalikan dan membahagikan nombor baru anda berfungsi dengan baik sama ada. Sebenarnya, saya fikir yang anda dipanggil # R_2 # adalah apa yang dipanggil orang ramai # -sqrt (2) # dan yang anda panggil # R_3 # adalah apa yang dipanggil orang ramai #sqrt (3) #'.

Jadi untuk nombor baru Encik Rational # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # tidak kira sama ada # R_2 # dan / atau # R_3 # adalah positif atau negatif dari sudut pandang menyelesaikan polinomial dengan pekali rasional.

Dua kali nombor ditambah tiga kali jumlah yang lain sama dengan 4. Tiga kali nombor pertama ditambah empat kali nombor lain adalah 7. Apakah nombor-nombor itu?

Nombor pertama adalah 5 dan yang kedua ialah -2. Katakan x menjadi nombor pertama dan y menjadi yang kedua. Kemudian kami mempunyai {(2x + 3y = 4), (3x + 4y = 7):} Kita boleh menggunakan sebarang kaedah untuk menyelesaikan sistem ini. Sebagai contoh, dengan penghapusan: Pertama, menghapuskan x dengan menolak beberapa persamaan kedua dari yang pertama, 2x + 3y- 2/3 (3x + 4y) = 4 - 2/3 (7) => 1 / 3y = - 2/3 => y = -2 kemudian menggantikan hasilnya kembali ke persamaan pertama, 2x + 3 (-2) = 4 => 2x - 6 = 4 => 2x = 10 => x = 5 Oleh itu nombor pertama ialah 5 dan yang kedua ialah -2. Memeriksa dengan memasukkan

Buktikan pernyataan berikut. Biarkan ABC menjadi segitiga yang betul, sudut tepat pada titik C. Ketinggian yang diambil dari C ke hypotenuse membahagi segitiga ke dalam dua segi tiga kanan yang sama antara satu sama lain dan kepada segi tiga asal?

Lihat di bawah. Menurut Soalan, DeltaABC adalah segitiga yang tepat dengan / _C = 90 ^ @, dan CD adalah ketinggian untuk hypotenuse AB. Bukti: Mari Kita Anggapkan bahawa / _ABC = x ^ @. Jadi, angleBAC = 90 ^ @ - x ^ @ = (90 - x) ^ @ Sekarang, CD tegak lurus AB. Jadi, angleBDC = angleADC = 90 ^ @. Dalam DeltaCBD, angleBCD = 180 ^ @ - angleBDC - angleCBD = 180 ^ @ - 90 ^ @ - x ^ @ = (90 -x) ^ @ Begitu juga, angleACD = x ^ @. Sekarang, Dalam DeltaBCD dan DeltaACD, sudut CBD = sudut ACD dan sudut BDC = angleADC. Oleh itu, dengan Kriteria Persamaan AA, DeltaBCD ~ = DeltaACD. Begitu juga, Kita dapat mencari, DeltaBCD ~ = DeltaAB

Dua kalangan mempunyai persamaan berikut (x +5) ^ 2 + (y +6) ^ 2 = 9 dan (x +2) ^ 2 + (y -1) ^ 2 = 81. Adakah satu bulatan mengandungi yang lain? Jika tidak, apakah jarak yang paling besar antara titik pada satu lingkaran dan titik lain pada yang lain?

Lingkaran berpotongan tetapi tidak satu pun daripada mereka mengandungi yang lain. (X + 5) ^ 2 + (y + 6) ^ 2 = 9 "" bulatan pertama (x + 2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 81 "" bulatan kedua Kita mulakan dengan persamaan yang berlalu melalui pusat lingkaran C_1 (x_1, y_1) = (- 5, -6) dan C_2 (x_2, y_2) = (- 2 , 1) adalah pusat.Menggunakan dua titik bentuk y-y_1 = ((y_2-y_1) / (x_2-x_1)) * (x-x_1) y - 6 = ((1--6) / (- 2--5) (x - 5) y + 6 = ((1 + 6) / (- 2 + 5)) * (x + 5) y + 6 = ((7) / (3) penyederhanaan 3y + 18 = 7x + 35 7x-3y = -17 "persamaan garis yang lewat melalui pusat dan pada dua titik paling jauh antara