Apakah extrema global dan tempatan f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Jawapan:

#f (x) # mempunyai minimum mutlak pada #(-1. 0)#

#f (x) # mempunyai maksimum tempatan pada # (- 3, 4e ^ -3) #

Penjelasan:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Peraturan produk

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Untuk extrema mutlak atau tempatan: #f '(x) = 0 #

Di sinilah: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Sejak # e ^ x> 0 forall x dalam RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 atau -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Peraturan produk

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Sekali lagi, sejak # e ^ x> 0 # kita hanya perlu menguji tanda # (x ^ 2 + 6x + 7) #

di titik ekstrem kami untuk menentukan sama ada titik itu adalah maksimum atau minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # adalah minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # adalah maksimum

Memandangkan graf #f (x) # di bawah ini jelas bahawa #f (-3) # adalah maksimum tempatan dan #f (-1) # adalah minimum mutlak.

graf {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Akhirnya, menilai titik ekstrim:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

dan

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #