Bagaimana anda mencari had (arctan (x)) / (5x) sebagai pendekatan x 0?

Jawapan:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Penjelasan:

Untuk mencari had ini, perhatikan bahawa kedua-dua pengangka dan penyebut pergi ke #0# sebagai # x # pendekatan #0#. Ini bermakna kita akan mendapat bentuk yang tidak pasti, oleh itu kita boleh menggunakan peraturan L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Dengan menggunakan peraturan L'Hospital, kami mengambil derivatif pengangka dan penyebut, memberi kami

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + +5) = 1/5 #

Kita juga boleh menyemak ini dengan menggambarkan fungsi itu, untuk mendapatkan idea apa # x # pendekatan.

Grafik #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Jawapan:

Pendekatan yang lebih panjang menggunakan trig ini dijelaskan di bawah.

Penjelasan:

Sekiranya anda tidak selesa dengan Peraturan L'Hopital, atau belum lagi terdedah kepadanya, pendekatan lain untuk menyelesaikan masalah ini melibatkan penggunaan takrif fungsi arctangent.

Ingatlah bahawa jika # tantheta = x #, kemudian # theta = arctanx #; ini pada asasnya bermakna bahawa arctangent adalah sebaliknya tangen. Menggunakan maklumat ini, kita boleh membina segitiga di mana # tantheta = x # dan # theta = arctanx #:

Daripada rajah, jelas bahawa # tantheta = x / 1 = x #. Sejak # tantheta = sintheta / costheta #, kita boleh menyatakan ini sebagai:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Menggunakan ini ditambah pula fakta itu # theta = arctanx #, kita boleh membuat penggantian dalam had:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Ini bersamaan dengan:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Kami tahu itu #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; jadi #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # atau #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Dan sejak # cos0 = 1 #, had tersebut menilai:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#