Bagaimanakah anda menemui Batasan (ln x) ^ (1 / x) sebagai x mendekati infiniti?

Jawapan:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Penjelasan:

Kami bermula dengan tipuan biasa ketika berhadapan dengan eksponen berubah. Kita boleh mengambil log semulajadi sesuatu dan kemudian membangkitkannya sebagai eksponen fungsi eksponen tanpa mengubah nilainya kerana ini adalah operasi songsang - tetapi ia membolehkan kita untuk menggunakan peraturan log dalam cara yang bermanfaat.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)

Menggunakan peraturan log eksponen:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Perhatikan bahawa ia adalah eksponen yang berbeza-beza sebagai # xrarroo # jadi kami boleh memfokuskannya dan memindahkan fungsi eksponen di luar:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Jika anda melihat tingkah laku fungsi log semulajadi, anda akan melihat bahawa sebagai x cenderung tidak terbatas, nilai fungsi juga cenderung tidak terbatas, walaupun sangat perlahan. Apabila kita ambil #ln (ln (x)) # kita mempunyai pemboleh ubah di dalam fungsi log yang cenderung kepada infiniti dengan sangat perlahan, yang bermaksud bahawa kita mempunyai fungsi keseluruhan yang cenderung kepada infiniti EXTREMELY perlahan-lahan. Graf di bawah hanya berkisar sehingga # x = 1000 # tetapi ia menunjukkan pertumbuhan yang amat perlahan #ln (ln (x)) # walaupun dibandingkan dengan pertumbuhan perlahan #ln (x) #.

Dari tingkah laku ini, kita dapat menyimpulkannya # x # akan mempamerkan pertumbuhan asimtotik lebih cepat dan bahawa had eksponen itu akan menjadi sifar. #color (biru) ("Ini bermakna had keseluruhan = 1.") #

Kita juga boleh menangani perkara ini dengan peraturan L'hopital. Kami memerlukan had untuk menjadi dalam bentuk tidak pasti, iaitu # 0/0 atau oo / oo # jadi kami periksa bahawa ini adalah kesnya:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Ini sememangnya kes jadi had:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x)

Untuk membezakan #y = ln (ln (x)) # mengiktiraf kami #y (u (x)) # dan gunakan peraturan rantai

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) menyiratkan (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) menyiratkan (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivatif # x # adalah #1#. Had menjadi:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo)

Kami telah membincangkan bahawa kedua-dua fungsi pada penyebut cenderung tidak terbatas sehingga kami ada

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #