Segitiga A mempunyai keluasan 15 dan dua sisi panjang 4 dan 9. Segitiga B adalah serupa dengan segitiga A dan mempunyai sisi panjang 12. Apakah bahagian maksimum dan minimum segitiga B?

Jawapan:

135 dan #~~15.8#, masing-masing.

Penjelasan:

Perkara yang sukar dalam masalah ini adalah kita tidak tahu mana dari sisi pokok segi tiga asal sepadan dengan salah satu panjang 12 dalam segitiga serupa.

Kita tahu bahawa kawasan segi tiga boleh dikira dari formula Heron

#A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-x)} #

Untuk segitiga kita ada # a = 4 # dan # b = 9 # dan juga # s = {13 + c} / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # s-b = {c-5} / 2 # dan # s-c = {13-c} / 2 #. Oleh itu

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 #

Ini membawa kepada persamaan kuadrat dalam # c ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

yang membawa kepada sama ada #c ~~ 11.7 # atau #c ~~ 7.5 #

Oleh itu, nilai maksima dan minima bagi sisi segi tiga asal kami adalah 11.7 dan 4, masing-masing. Oleh itu, nilai maksimum dan minimum kemungkinan faktor skala adalah #12/4=3# dan #12/11.7~~ 1.03#. Oleh kerana skala kawasan sebagai segi empat panjang, nilai maksima dan minimum bagi kawasan segitiga serupa adalah # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # dan # 15 xx 1.03 ^ 2 ~~ 15.8 #, masing-masing.