Bagaimanakah anda menemui penghampiran linear ke akar (4) (84)?

Jawapan:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Penjelasan:

Perhatikan bahawa #3^4 = 81#, yang berdekatan #84#.

Jadi #root (4) (84) # adalah sedikit lebih besar daripada #3#.

Untuk mendapatkan penghampiran yang lebih baik, kita boleh menggunakan perkiraan linear, kaedah a.k.a. Newton.

Tentukan:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Kemudian:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

dan diberi sifar anggaran # x = a # daripada #f (x) #, perkiraan yang lebih baik ialah:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Jadi dalam kes kita, letakkan # a = 3 #, perkiraan yang lebih baik ialah:

3- (3) 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

Ini hampir tepat #4# angka-angka penting, tetapi mari kita sebut penghampiran sebagai #3.03#

Jawapan:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Penjelasan:

Perhatikan bahawa penghampiran linear berhampiran titik # a # boleh diberikan oleh:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Sekiranya diberikan: #f (x) = root (4) (x) #

maka pilihan yang sesuai untuk # a # akan menjadi # a = 81 # kerana kita tahu #root (4) 81 = 3 # betul dan dekat dengannya #84#.

Jadi:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

Juga;

#f (x) = x ^ (1/4) # jadi #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Oleh itu, kita boleh menghampiri (berhampiran #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Jadi:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Nilai yang lebih tepat ialah #3.02740#

jadi perkiraan linear cukup dekat.

Jawapan:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Penjelasan:

Kita boleh mengatakan bahawa kita mempunyai fungsi #f (x) = root (4) (x) #

dan # root (4) (84) = f (84) #

Sekarang, mari kita temukan terbitan fungsi kita.

Kami menggunakan peraturan kuasa, yang menyatakan bahawa jika #f (x) = x ^ n #, kemudian #f '(x) = nx ^ (n-1) # di mana # n # adalah tetap.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Sekarang, kira-kira # root (4) (84) #, kami cuba mencari kuasa keempat yang paling dekat dengan 84

Mari lihat …

#1#

#16#

#81#

#256#

Kita lihat itu #81# adalah yang paling dekat kami.

Sekarang kita dapati garis tangen fungsi kita ketika # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Ini adalah cerun yang kita cari.

Mari kita cuba untuk menulis persamaan garis tangen dalam bentuk # y = mx + b #

Nah, apa maksudnya # y # sama dengan ketika # x = 81 #?

Mari lihat …

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Oleh itu, kami kini mempunyai:

# 3 = m81 + b # Kita tahu bahawa cerun, # m #, adalah #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Kita kini boleh menyelesaikannya # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Oleh itu, persamaan garis tangen adalah # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Kami kini menggunakan 84 di tempat # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Oleh itu, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #