Apakah int (cos (x)) ^ 4 dx?

Jawapan:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Penjelasan:

Walaupun pada mulanya muncul sebagai integral yang benar-benar menjengkelkan, kita sebenarnya boleh memanfaatkan identiti trigmen untuk memecahkan integral ini ke dalam satu siri integral mudah yang kita lebih akrab dengan.

Identiti yang akan kami gunakan ialah:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Ini membolehkan kita memanipulasi persamaan kita seperti:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Kita kini boleh menggunakan peraturan kita sekali lagi untuk menghapuskan kos ^ 2 (2x) di dalam nasihat:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Sekarang kita sebenarnya mempunyai masalah penyepaduan yang agak mudah, kita boleh mengedarkan yang penting ke dalam indeks kami supaya:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Setiap integral trig ini ditangani dengan peraturan mudah itu #int cos (kapak) dx = 1 / a sin (kapak) #.

Oleh itu, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #