Jawapan:
Converges to # 1 + i # (pada kalkulator grafik Ti-83 saya)
Penjelasan:
Biarkan # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}}
Pertama, Dengan mengandaikan bahawa siri tak terhingga ini menumpu (iaitu mengandaikan S wujud dan mengambil nilai nombor kompleks), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Dan jika anda menyelesaikan untuk S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
dan menggunakan formula kuadrat yang anda dapat:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} 1 pm i #
Biasanya fungsi akar persegi mengambil nilai positif dengan itu # S = 1 + i #
Oleh itu, jika ia menumpu maka ia mestilah berkumpul # 1 + i #
Sekarang apa yang perlu anda lakukan adalah membuktikan bahawa ia menumpu atau jika anda malas seperti saya maka anda boleh memasangkannya # sqrt {-2} # ke dalam kalkulator yang boleh mengendalikan nombor imajiner dan menggunakan hubungan berulang:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Saya mengulangi ini banyak kali di Ti - 83 saya dan mendapati bahawa ia semakin dekat contohnya selepas saya mengulanginya di suatu tempat seperti 20 kali saya mendapat kira-kira
# 1.000694478 + 1.001394137i #
anggaran yang cukup baik
