Segitiga A mempunyai keluasan 9 dan dua sisi panjang 6 dan 9. Segitiga B adalah serupa dengan segitiga A dan mempunyai sisi panjang 12. Apakah bahagian maksimum dan minimum segitiga B?

Jawapan:

Min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

Maks # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} approx 85.39448839 … #

Penjelasan:

Diberikan:

# Kawasan _ { triangleA} = 9 #

Panjang sampingan # triangleA # adalah # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Panjang sampingan # triangleB # adalah # U, V, W #

#U = 12 #

# triangle A text {similar} triangle B #

pertama menyelesaikan # Z #:

gunakan formula Heron: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # di mana # S = frac {A + B + C} {2} #, sub di kawasan 9, dan kedalaman 6 dan 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2} 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Biarkan # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

menggunakan formula kuadratik

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Tolak penyelesaian negatif sebagai # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Oleh itu # Z approx 3.895718613 # dan # 14.79267983 # masing-masing

# because triangle A text {similar} triangle B, Area _ { triangle B} = k ^ 2 * Area _ { triangleA} # di mana # k # adalah faktor saiz semula

# k = 12 / s # di mana diatur dalam perintah menaik: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

atau dalam bentuk perpuluhan: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Lebih besar nilai # s #, semakin kecil kawasan dan semakin kecil nilai # s #, semakin besar Kawasan,

Oleh itu, untuk meminimumkan Kawasan pilih # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

dan untuk memaksimumkan Kawasan pilih # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Oleh itu, kawasan minimum # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

dan Kawasan maksimum # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} approx 85.39448839 … #