Apakah derivatif x ^ x?

Jawapan:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Penjelasan:

Kami ada:

# y = x ^ x # Mari ambil log semula jadi di kedua-dua belah pihak.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Menggunakan fakta itu #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Sapukan # d / dx # di kedua-dua belah pihak.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

Peraturan rantai:

Jika #f (x) = g (h (x)) #, kemudian #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Peraturan kuasa:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # jika # n # adalah tetap.

Juga, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Terakhir, peraturan produk:

Jika #f (x) = g (x) * h (x) #, kemudian #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Kami ada:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Jangan bimbang tentang bila # x = 0 #, kerana #ln (0) # tidak jelas)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Sekarang, sejak # y = x ^ x #, kita boleh menggantikannya # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #