Menggunakan definisi konvergensi, bagaimana anda membuktikan bahawa urutan {2 ^ -n} menumpuk dari n = 1 ke tak terhingga?

$Menggunakan definisi konvergensi, bagaimana anda membuktikan bahawa urutan {2 ^ -n} menumpuk dari n = 1 ke tak terhingga?$

Jawapan:

Gunakan sifat fungsi eksponen untuk menentukan N seperti # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # untuk setiap # m, n> N #

Penjelasan:

Takrif penumpuan menyatakan bahawa # {a_n} # menumpukan jika:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Jadi, diberikan #epsilon> 0 # ambil #N> log_2 (1 / epsilon) # dan # m, n> N # dengan #m <n #

Sebagai #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # jadi # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Sekarang sebagai # 2 ^ x # sentiasa positif, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, jadi

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Dan sebagai # 2 ^ (- x) # sangat ketat dan #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Tetapi:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Jadi:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

Istilah pertama dan kedua bagi urutan geometri masing-masing adalah istilah pertama dan ketiga bagi suatu urutan linear. Istilah keempat bagi urutan linear ialah 10 dan jumlah lima istilah pertama ialah 60. Cari lima syarat pertama dari urutan linear?

{16, 14, 12, 10, 8} Jujukan geometrik yang biasa boleh direpresentasikan sebagai c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k dan urutan aritmetik biasa seperti c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, kDelta Memanggil c_0 a sebagai elemen pertama untuk urutan geometrik yang kita ada {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Pertama dan kedua GS adalah yang pertama dan ketiga dari LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "Istilah keempat jujukan linear adalah 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Jumlah lima istilah pertama ialah 60"):} Penyelesaian untuk c_0, a, Delta kita memperoleh c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2 dan li

Menggunakan definisi konvergensi, bagaimana anda membuktikan bahawa urutan {5+ (1 / n)} menumpuk dari n = 1 ke tak terhingga?

Letakkan: a_n = 5 + 1 / n maka bagi mana-mana m, n dalam NN dengan n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) sebagai n> m => 1 / n <1 / m: (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n dan sebagai 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Memandangkan nombor sebenar epsilon> 0, kemudian pilih integer N> 1 / epsilon. Untuk mana-mana bilangan bulat m, n> N kita ada: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon yang membuktikan keadaan Cauchy untuk penumpuan urutan.

Menggunakan definisi konvergensi, bagaimana anda membuktikan bahawa urutan lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 menumpu?

Memandangkan nombor epsilon> 0 memilih M> 1 / sqrt (6epsilon), dengan M dalam NN. Kemudian, bagi n> = M kami mempunyai: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon dan sebagainya: n> = M => 1 / 1) <epsilon yang membuktikan had.