Apakah derivatif x ^ n?

Untuk fungsi itu #f (x) = x ^ n #, n sepatutnya tidak sama 0, atas alasan yang akan menjadi jelas. n juga harus menjadi integer atau nombor rasional (iaitu pecahan).

Peraturannya ialah:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Dalam erti kata lain, kita "meminjam" kuasa x dan menjadikannya pekali derivatif, dan kemudian tolak 1 dari kuasa.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Seperti yang saya katakan, kes khas adalah di mana n = 0. Ini bermakna itu

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Kita boleh menggunakan peraturan kami dan secara teknikal dapatkan jawapan yang betul:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Walau bagaimanapun, kemudian di bawah trek, kita akan menghadapi komplikasi apabila kita cuba menggunakan sebaliknya peraturan ini.

Jawapan:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Berikut adalah bukti untuk setiap nombor, tetapi hanya bukti untuk semua bilangan bulat menggunakan skillet asas definisi derivatif. Bukti untuk semua rasional menggunakan peraturan rantai dan untuk tidak rasional menggunakan perbezaan tersirat.

Penjelasan:

Bahwa dikatakan, saya akan menunjukkan mereka semua di sini, sehingga anda dapat memahami proses tersebut. Berhati-hati dengannya # akan # agak panjang.

Dari #y = x ^ (n) #, jika #n = 0 # kita ada #y = 1 # dan terbitan konstan adalah sifar sifar.

Jika # n # adalah sebarang integer positif lain yang kita boleh membuangnya dalam formula derivatif dan menggunakan teorem binomial untuk menyelesaikan kekacauan tersebut.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i)

Di mana # K_i # adalah pemalar yang sesuai

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i)

Membahagikan itu # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Kita boleh mengambil istilah pertama dari jumlah itu

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1)

Mengambil had, semua yang masih dalam jumlahnya akan menjadi sifar. Mengira # K_1 # kita lihat bahawa ia sama # n #, jadi

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Untuk # n # yang merupakan bilangan bulat negatif ia sedikit lebih rumit. Mengetahui bahawa # x ^ -n = 1 / x ^ b #, seperti itu #b = -n # dan oleh itu positif.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)

(x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)

Keluarkan istilah pertama

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1) ^ b)) #

Ambil had, Dimana # K_1 = b #, menjadikannya kembali kepada # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Untuk rasional kita perlu menggunakan peraturan rantai. I.e.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Jadi, mengetahui itu # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # dan andaian #n = 1 / b # kita ada

# (x ^ n) ^ b = x #

Jika # b # walaupun, jawapannya secara teknikal # | x | # tetapi ini cukup dekat untuk tujuan kami

Jadi, dengan menggunakan peraturan rantai kita ada

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1)

Dan yang terakhir tetapi tidak sekurang-kurangnya, dengan menggunakan pembezaan tersirat kita dapat membuktikan untuk semua nombor nyata, termasuk ketidakadilan.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #