Bagaimana anda mengenal pasti jenis kon? 4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4 adalah, jika mana-mana dan jika persamaan itu mewakili kerucut, sebutkan titik atau pusatnya?

Jawapan:

Elips

Conics boleh diwakili sebagai

#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #

di mana #p = {x, y} # dan

#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.

Untuk conics #m_ {12} = m_ {21} # kemudian # M # nilai eigen selalu nyata kerana matriks adalah symetrik.

Polinomial ciri adalah

#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #

Bergantung pada akarnya, kerucut dapat diklasifikasikan sebagai

1) Sama --- bulatan

2) Tanda sama dan nilai mutlak yang berlainan --- elips

3) Tanda yang berbeza --- hyperbola

4) Satu akar null --- parabola

Dalam kes ini kita ada

#M = ((4,0), (0,8)) #

dengan polinomial ciri

# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #

dengan akar #{4,8}# jadi kami mempunyai elips.

Menjadi elips ada representasi kanonik untuknya

# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #

# x_0, y_0, a, b # boleh ditentukan seperti berikut

# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 forall x in RR #

memberi

# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0) (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #

penyelesaian yang kita dapat

# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #

jadi

# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1}