Bagaimanakah anda mengesahkan identiti berikut?

Jawapan:

Gunakan beberapa tanda identiti dan banyak memudahkan. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Apabila berurusan dengan perkara seperti # cos3x #, ia memudahkan untuk memudahkan fungsi trigonometri satu unit # x #; iaitu sesuatu seperti # cosx # atau # cos ^ 3x #. Kita boleh menggunakan peraturan jumlah untuk cosine untuk mencapai ini:

#cos (alpha + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Jadi, sejak # cos3x = cos (2x + x) #, kami ada:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Kini kita boleh menggantikannya # cos3x # dengan ungkapan di atas:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Kita boleh membahagi pecahan yang lebih besar ini menjadi dua pecahan yang lebih kecil:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Perhatikan bagaimana kosina membatalkan:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) cancel (cosx)) / cancel (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Sekarang tambah a # sin ^ 2x-sin ^ 2x # ke sebelah kiri persamaan (yang sama dengan penambahan #0#). Alasan di sebalik ini akan menjadi jelas dalam satu minit:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Susun semula istilah:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Gunakan Identiti Pythagorean # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # dan menggabungkan # sin ^ 2x #s dalam kurungan:

# 1 (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Anda boleh melihat helah kecil kami menambah # sin ^ 2x-sin ^ 2x # telah membenarkan kami menggunakan Identiti Pythagorean dan mengumpulnya # sin ^ 2x # terma.

Dan voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.