Apakah makna frasa matriks boleh terbalik?

Jawapan ringkas adalah bahawa dalam sistem persamaan linear jika matriks pekali boleh dibalik, maka penyelesaian anda adalah unik, iaitu, anda mempunyai satu penyelesaian.

Terdapat banyak sifat untuk matriks boleh terbalik untuk disenaraikan di sini, jadi anda harus melihat Teorema Matriks Invertible. Untuk matriks boleh terbalik, mestilah persegi, iaitu, ia mempunyai bilangan baris yang sama sebagai lajur.

Secara amnya, adalah lebih penting untuk mengetahui bahawa matriks boleh terbalik, dan bukannya menghasilkan matriks yang boleh diubah kerana ia adalah lebih banyak perbelanjaan pengiraan untuk mengira matriks yang boleh dibalik berbanding hanya menyelesaikan sistem. Anda akan mengira matriks songsang jika anda menyelesaikan penyelesaian yang banyak.

Katakan anda mempunyai sistem persamaan linear ini:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

dan anda perlu selesaikan # (x, y) # untuk pasangan pemalar: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Nampaknya banyak kerja! Dalam bentuk matriks, sistem ini kelihatan seperti:

# Ax = b #

di mana # A # adalah matriks pekali, # x # adalah vektor # (x, y) # dan # b # adalah vektor # (b_1, b_2) #. Kita boleh selesaikan # x # dengan beberapa algebra matriks:

# x = A ^ (- 1) b #

di mana #A ^ (- 1) # adalah matriks songsang. Terdapat cara yang berbeza untuk mengira matriks songsang, jadi saya tidak akan masuk ke dalamnya sekarang.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Jadi untuk mendapatkan penyelesaian, kami mempunyai:

# -12 * 119.75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76.5 + 10 * 94.5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76.5-16 * 94.5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152.75 + 10 * 188.5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152.75-16 * 188.5 = 39 = y_3 #

Sekarang, bukankah itu lebih mudah daripada menyelesaikan 3 sistem?

Matriks - bagaimana untuk mencari x dan y apabila matriks (x y) didarabkan oleh matriks lain yang memberikan jawapan?

X = 4, y = 6 Untuk mencari x dan y kita perlu mencari produk dot dua vektor. 7x = 28 x = 28/7 = 4 3 (4) = 13 7y = 42 y (7x, 7y), (3x) = 42/7 = 6 3 (6) = 18

Apakah ruang kosong bagi matriks yang boleh terbalik?

{underline (0)} Jika matriks M boleh dibatalkan, maka satu-satunya titik yang ia peta untuk menggariskan (0) dengan pendaraban adalah garis bawah (0). Sebagai contoh, jika M ialah matriks 3xx3 yang boleh dibalikkan dengan songsang M ^ (- 1) dan: M ((x), (y), (z)) = ((0), (0), (0)) maka: (x), (y), (z)) = M ^ (- 1) M ((x), (y), (z)) = M ^ (- 1) ((0) (0)) = ((0), (0), (0)) Oleh itu, ruang kosong M adalah subspace 0 dimensi yang mengandungi titik tunggal ((0), (0), (0)).

Kenapa mesti produk dari dua matriks boleh terbalik boleh terbalik?

Jika A mempunyai songsang A ^ (- 1) dan B mempunyai songsang B ^ (- 1), maka AB mempunyai songsang B ^ (- 1) A ^ (- 1) (AB) (B ^ (- 1) A ^ -1)) = A (BB ^ (- 1)) A ^ (- 1) = AIA ^ (- 1) = AA ^ (- 1) = I (B ^ (- 1) A ^ (- 1) (AB) = B ^ (- 1) (A ^ (- 1) A) B = B ^ (- 1) IB = B ^ (- 1) B = I