Jika boleh, cari fungsi f seperti grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Jawapan:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Penjelasan:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Sekarang ambil" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Kemudian kami mempunyai satu dan f yang sama, yang memenuhi syarat." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Jawapan:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Penjelasan:

Kami mempunyai notasi yang tidak baik dalam soalan itu kerana pengendali del (atau operator kecerunan) adalah operator berbeza vektor, Kami mencari fungsi #f (x, y) # seperti itu:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Di mana #bb (grad) # adalah operator kecerunan:

f = bb (grad) f = (separa f) / (separa x) bb (ul hat i) + (separa f) / (sebahagian x) > #

Dari mana kita memerlukannya:

# f_x = (parsial f) / (parsial x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (separa f) / (separa y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Jika kita mengintegrasikan A wrt # x #, semasa merawat # y # sebagai pemalar maka kita dapat:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Sekiranya kita mengintegrasikan B wrt # y #, semasa merawat # x # sebagai pemalar maka kita dapat:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Di mana #u (y) # adalah fungsi sewenang-wenangnya # y # sahaja, dan #v (x) # adalah fungsi sewenang-wenangnya # x # bersendirian.

Kami jelas memerlukan fungsi ini menjadi sama, oleh itu kami mempunyai:

(x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Dan jadi kami memilih #v (x) = x ^ 4 # dan #u (y) = y ^ 6 #, yang memberikan kita penyelesaian:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Kita boleh mengesahkan penyelesaian dengan mengira derivatif separa:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED