Jika boleh, cari fungsi f seperti grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Jawapan:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Penjelasan:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Sekarang ambil" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Kemudian kami mempunyai satu dan f yang sama, yang memenuhi syarat." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Jawapan:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Penjelasan:

Kami mempunyai notasi yang tidak baik dalam soalan itu kerana pengendali del (atau operator kecerunan) adalah operator berbeza vektor, Kami mencari fungsi #f (x, y) # seperti itu:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Di mana #bb (grad) # adalah operator kecerunan:

f = bb (grad) f = (separa f) / (separa x) bb (ul hat i) + (separa f) / (sebahagian x) > #

Dari mana kita memerlukannya:

# f_x = (parsial f) / (parsial x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (separa f) / (separa y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Jika kita mengintegrasikan A wrt # x #, semasa merawat # y # sebagai pemalar maka kita dapat:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Sekiranya kita mengintegrasikan B wrt # y #, semasa merawat # x # sebagai pemalar maka kita dapat:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Di mana #u (y) # adalah fungsi sewenang-wenangnya # y # sahaja, dan #v (x) # adalah fungsi sewenang-wenangnya # x # bersendirian.

Kami jelas memerlukan fungsi ini menjadi sama, oleh itu kami mempunyai:

(x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Dan jadi kami memilih #v (x) = x ^ 4 # dan #u (y) = y ^ 6 #, yang memberikan kita penyelesaian:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Kita boleh mengesahkan penyelesaian dengan mengira derivatif separa:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED

Fungsi f adalah sedemikian rupa sehingga f (x) = a ^ 2x ^ 2-ax + 3b untuk x <1 / (2a) Jika a dan b adalah malar untuk kes di mana a = 1 dan b = -1 Cari f ^ 1 (cf dan cari domainnya saya tahu domain f ^ -1 (x) = julat f (x) dan ia adalah -13/4 tetapi saya tidak tahu arahan tanda ketidaksamaan?

Lihat di bawah. a ^ 2x ^ 2-ax + 3b x ^ 2-x-3 Julat: Masukkan ke dalam bentuk y = a (xh) ^ 2 + kh = -b / (2a) k = f (h) h = (h) = f (1/2) = (1/2) ^ 2- (1/2) -3 = -13 / 4 Nilai minima -13/4 Ini berlaku pada x = 1 / 13/4, oo) f ^ (- 1) (x) x = y ^ 2-y-3 y ^ 2-y- (3-x) = 0 Menggunakan rumus kuadrat: y = (- (- 1) 2q = (1 + -sqrt (4x + 13)) / 2 f ^ (- 1) (x) = ( 2 + sqrt (4x + 13)) / 2 f ^ (- 1) (x) = (1-sqrt (4x + 13)) / 2 Dengan sedikit pemikiran kita dapat melihat : (1-sqrt (4x + 13)) / 2 Dengan domain: (-13 / 4, oo) Perhatikan bahawa kami mempunyai sekatan pada domain f (x) x < 1/2 Ini ialah x koordinat puncak dan julatny

Let f menjadi fungsi berterusan: a) Cari f (4) jika _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx untuk semua x. b) Cari f (4) jika _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx untuk semua x?

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Perbezaan kedua-dua pihak. Melalui Teorem Fundamental Kalkulus Kedua di sebelah kiri dan peraturan produk dan rantai di sebelah kanan, kita melihat bahawa pembezaan mendedahkan bahawa: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) Membiarkan x = 2 menunjukkan bahawa f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Evaluate. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 f (4) = 0

Mari f ialah fungsi linear seperti f (-1) = - 2 dan f (1) = 4. Cari persamaan bagi fungsi linear f dan kemudian graf y = f (x) pada grid koordinat?

Y = 3x + 1 Sebagai f ialah fungsi linear iaitu garis, iaitu f (-1) = - 2 dan f (1) = 4, ini bermakna ia melewati (-1, -2) dan (1,4 ) Perhatikan bahawa hanya satu baris yang boleh dilalui dengan diberikan mana-mana dua titik dan jika titik adalah (x_1, y_1) dan (x_2, y_2), persamaan adalah (x-x_1) / (x_2-x_1) = (y-y_1) (y_2-y_1) dan karenanya persamaan garis yang melalui (-1, -2) dan (1,4) adalah (x - (- 1)) / (1 - (- 1)) = (y - (- 2 ) / (4 - (- 2)) atau (x + 1) / 2 = (y + 2) / 6 andd mengalikan dengan 6 atau 3 (x + 1) = y + 2 atau y = 3x + 1