Dua sudut segitiga isosceles berada pada (1, 3) dan (9, 4). Sekiranya kawasan segi tiga adalah 64, apakah segi tiga segi segi tiga?

Jawapan:

Panjang segi tiga adalah:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Penjelasan:

Jarak antara dua mata # (x_1, y_1) # dan # (x_2, y_2) # diberikan oleh formula jarak:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Jadi jarak antara # (x_1, y_1) = (1, 3) # dan # (x_2, y_2) = (9, 4) # adalah:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

yang merupakan nombor tidak rasional yang sedikit lebih besar daripada #8#.

Sekiranya salah satu sisi segi tiga sama panjangnya, maka bidang maksimum segitiga ialah:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Jadi itu tidak boleh berlaku. Sebaliknya, kedua-dua pihak yang lain mesti panjang yang sama.

Diberi segitiga dengan sisi # a = sqrt (65), b = t, c = t #, kita boleh menggunakan formula Heron untuk mencari kawasannya.

Formula heron memberitahu kita bahawa kawasan segitiga dengan sisi #a, b, c # dan perimeter separuh #s = 1/2 (a + b + c) # diberikan oleh:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Dalam kes kami, perimeter separuh adalah:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

dan formula Heron memberitahu kita bahawa:

# 64 = 1 / 2sqrt (t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)

#color (putih) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Maju kedua hujung dengan #2# untuk mendapatkan:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Square kedua-dua belah untuk mendapatkan:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Maju kedua belah pihak #4/65# untuk mendapatkan:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transpose dan tambah #65/4# kepada kedua-dua pihak untuk mendapatkan:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Ambil akar kuadrat positif kedua-dua belah untuk mendapatkan:

#t = sqrt (266369/260) #

Jadi panjang segi tiga adalah:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Kaedah alternatif

Daripada menggunakan formula Heron, kita boleh membuat alasan seperti berikut:

Memandangkan asas segitiga isosceles adalah panjang:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Kawasan ini # 64 = 1/2 "asas" xx "ketinggian" #

Maka ketinggian segi tiga ialah:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Ini adalah panjang bisektor serentak segitiga, yang melepasi titik tengah pangkalan.

Oleh itu, kedua-dua belah pihak membentuk hipotenus dua segi tiga tepat dengan kaki #sqrt (65) / 2 # dan # (128sqrt (65)) / 65 #

Jadi oleh Pythagoras, setiap sisinya panjang:

sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) # sqlt (65)