Selesaikan ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Jawapan:

Lakaran cepat …

Penjelasan:

Diberikan:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # dengan #a! = 0 #

Ini mendapat kemas dengan cepat, jadi saya hanya akan memberikan lakaran satu kaedah …

Multiply oleh # 256a ^ 3 # dan pengganti #t = (4ax + b) # untuk mendapatkan kuartik monik yang tertekan dalam bentuk:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Perhatikan bahawa sejak ini tiada istilah dalam # t ^ 3 #, ia mesti faktor dalam bentuk:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-Pada + B) (t ^ 2 + Pada + C) #

#color (putih) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C)

Menyamakan koefisien dan menyusun semula sedikit, kami mempunyai:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Jadi kita dapati:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (putih) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (putih) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Memperbanyakkan, didarabkan dengan # A ^ 2 # dan menyusun semula sedikit, ini menjadi:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Ini "padu dalam # A ^ 2 #"mempunyai sekurang-kurangnya satu akar sebenar. Sebaiknya ia mempunyai akar sebenar yang positif yang menghasilkan dua nilai sebenar yang mungkin untuk # A #. Walau apa pun, mana-mana akar padu akan dilakukan.

Memandangkan nilai # A #, kami ada:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Oleh itu, kita mendapat dua kuadratik untuk diselesaikan.