Apakah asymptote (s) dan lubang, jika ada, dari f (x) = xsin (1 / x)?

Jawapan:

Rujuk di bawah.

Penjelasan:

Nah, jelas ada lubang pada # x = 0 #, sejak pembahagian oleh #0# tidak mungkin.

Kita boleh graf fungsi:

graf {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Tiada asymptotes atau lubang lain.

Jawapan:

#f (x) # mempunyai lubang (ketetapan boleh tanggal) pada # x = 0 #.

Ia juga mempunyai asymptote mendatar # y = 1 #.

Ia tidak mempunyai asymptotes menegak atau miring.

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Saya akan menggunakan beberapa sifat #sin (t) #, iaitu:

• #abs (sin t) <= 1 "" # untuk semua nilai sebenar # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # untuk semua nilai # t #.

Pertama ambil perhatian bahawa #f (x) # adalah fungsi yang sama:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x)

Kita dapati:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Jadi:

Abs (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Sejak ini #0#, begitu juga #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Juga, sejak #f (x) # adalah walaupun:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Perhatikan bahawa #f (0) # tidak jelas, kerana ia melibatkan pembahagian oleh #0#, tetapi kedua-dua had kiri dan kanan wujud dan bersetuju # x = 0 #, jadi ia mempunyai lubang (ketetapan boleh tanggal) di sana.

Kami juga mendapati:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t =

Begitu juga:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t =

Jadi #f (x) # mempunyai asymptote mendatar # y = 1 #

graf {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}