Bagaimana untuk mengintegrasikan int x ^ lnx?

Jawapan:

(x) +1 / 2) + C #

Penjelasan:

Kami bermula dengan penggantian u dengan # u = ln (x) #. Kami kemudiannya membahagi dengan terbitan # u # untuk menyatukan berkenaan dengan # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Sekarang kita perlu selesaikan # x # dari segi # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Anda mungkin menganggap bahawa ini tidak mempunyai anti-derivatif asas, dan anda betul. Walau bagaimanapun, kami boleh menggunakan borang untuk fungsi ralat khayalan, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Untuk mendapatkan integral kami dalam bentuk ini, kami mungkin hanya mempunyai satu pemboleh ubah yang berkadar dalam eksponen # e #, jadi kita perlu melengkapkan persegi:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int (u + 1/2) ^ 2) du #

Sekarang kita boleh memperkenalkan penggantian u dengan # t = u + 1/2 #. Derivatif adalah adil #1#, jadi kita tidak perlu melakukan apa-apa yang istimewa untuk menyatukan berkenaan # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Sekarang kita boleh membatalkan semua penggantian untuk mendapatkan:

(a / 4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2)

Bagaimana untuk mengintegrasikan int e ^ x sinx cosx dx?

Pertama, kita boleh menggunakan identiti: 2sinthetacostheta = sin2x yang memberi: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Sekarang kita boleh menggunakan integrasi oleh bahagian-bahagian. Formula adalah: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Saya akan membiarkan f (x) 2x) dan g '(x) = e ^ x / 2. Menggunakan formula, kita dapat: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Sekarang kita boleh memohon integrasi dengan bahagian sekali lagi , kali ini dengan f (x) = cos (2x) dan g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) 2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx

Bagaimana untuk mengintegrasikan int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx dengan pecahan separa?

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Jadi, kita mula menulis ini: (6x ^ 2 + 13x + 6) (X + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Dengan tambahan kita dapat: (6x ^ 2 + 13x + (x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (X + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Menggunakan x = -2 memberi kita: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) 6 x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) 13 (-1) + 6 = CC = -1 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) Sekarang menggunakan x = 0 mana-mana nilai yang belum digunakan

Bagaimana anda menggunakan penguraian pecahan sebahagian untuk mengurai pecahan untuk mengintegrasikan (3x) / ((x + 2) (x - 1))?

Format yang diperlukan dalam pecahan separa adalah 2 / (x + 2) + 1 / (x-1) Mari kita pertimbangkan dua pemalar A dan B seperti A / (x + 2) + B / (x-1) dapatkan (A (x-1) + B (x + 2)) / ((x-1) (x + 2)) = 3x / ((x + 2) (x-1) A (x-1) + B (x + 2)) = 3x Sekarang meletakkan x = 1 kita dapat B = 1 Dan meletakkan x = -2 kita dapat A = 2 Jadi diperlukan bentuk ialah 2 / (x + 2) + 1 / (x-1) Harap ini membantu !!