Integrasi 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Jawapan:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)

Penjelasan:

Mulakan dengan memfaktorkan penyebut:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Sekarang kita boleh melakukan pecahan separa:

= 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #

Kita boleh mencari # A # menggunakan kaedah penutup:

# A = 1 / ((teks (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Seterusnya kita boleh membiak kedua belah pihak oleh penyebut LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Ini memberikan persamaan berikut:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Ini bermakna kita boleh menulis semula integral asal kita:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Integral pertama boleh dilakukan menggunakan eksplisit u-penggantian, tetapi agak jelas bahawa jawapannya #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Kita boleh memisahkan integral yang tersisa menjadi dua:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx =

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx)

Sebab untuk penipuan dengan mendarab dan membahagikan #2# adalah untuk menjadikan penyebut tangan kiri lebih mudah menggunakan penggantian u.

Saya akan memanggil integral kiri Integral 1 dan Integral kanan Integral 2

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Oleh kerana kita telah menyediakan integral ini untuk penggantian, semua yang perlu kita lakukan adalah pengganti # u = x ^ 2-x + 1 #, dan derivatif itu # 2x-1 #, jadi kami membahagi dengan itu untuk menyatukan berkenaan # u #:

#int cancel (2x-1) / (batalkan (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln |

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Kami mahu mendapatkan integral ini dalam bentuk:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Untuk melakukan ini, kita perlu menyiapkan kuadrat untuk penyebut:

# x ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Kami ingin memperkenalkan penggantian u seperti:

# (x-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Kami melipatgandakan derivatif berkenaan # u # untuk menyatukan berkenaan dengan # u #:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Melengkapkan integral asal

Sekarang kita tahu jawapan kepada Integral 1 dan Integral 2, kita boleh memasukkannya semula ke dalam ungkapan asal untuk mendapatkan jawapan terakhir kita:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C =

# = 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)

Jawapan:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3)

Penjelasan:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3)