Bagaimana anda mencari asymptotes untuk y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Jawapan:

Menegak

# x = 1 #

# x = 3 #

Mendatar

# x = 1 # (untuk kedua-dua # + - oo #)

Oblique

Tidak wujud

Penjelasan:

Biarkan # y = f (x) #

• Asymptotes menegak

Cari had fungsi kerana ia cenderung kepada batas domainnya kecuali infiniti. Sekiranya hasilnya adalah tak terhingga, daripada itu # x # garis adalah asymptote. Di sini, domain itu ialah:

#x dalam (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Jadi 4 mungkin asimtot menegak adalah:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptote # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3) 0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Asymptote menegak untuk # x = 1 #

Nota: untuk # x-1 # sejak # x # adalah sedikit lebih rendah daripada 1 hasilnya akan menjadi sedikit lebih rendah daripada 0, jadi tanda akan negatif, maka nota itu #0^-# yang kemudian diterjemahkan kepada tanda negatif.

Pengesahan untuk asymptote # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Dikesahkan

Asymptote # x-> 3 ^ - #

x (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Asymptote menegak untuk # x = 3 #

Pengesahan untuk asymptote # x-> 3 ^ + #

(x +>) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Dikesahkan

• Asymptotes mendatar

Cari kedua-dua had sebagai fungsi cenderung # + - oo #

Tak terhingga minus #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

(x - 2) (1 + 2 / x + 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2)

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asymptote mendatar untuk # y = 1 #

Tambahan infiniti #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

(x - 2) (1 + 2 / x + 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2)

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asymptote mendatar untuk # y = 1 #

Nota: ia hanya berlaku bahawa fungsi ini mempunyai hala yang sama untuk kedua-duanya # -oo # dan # + oo #. Anda harus sentiasa memeriksa kedua-duanya.

• Asymptotes oblique

Anda mesti terlebih dahulu mencari kedua-dua had:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Bagi setiap, jika had ini adalah nombor nyata, maka asymptote wujud dan had ialah cerunnya. The # y # memintas setiap had ialah:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Walau bagaimanapun, untuk menyelamatkan masalah ini, anda boleh menggunakan fungsi "pengetahuan" untuk mengelakkan ini. Sejak kita tahu #f (x) # mempunyai asymptote mendatar untuk kedua-duanya # + - oo # satu-satunya cara untuk mempunyai serong ialah mempunyai satu lagi garis #x -> + - oo #. Walau bagaimanapun, #f (x) # ialah #1-1# berfungsi jadi tidak boleh dua # y # nilai untuk satu # x #, maka baris kedua adalah mustahil, jadi tidak mustahil untuk mempunyai asymptotes serong.