Segitiga isosceles mempunyai sisi A, B, dan C dengan sisi B dan C sama panjangnya. Jika sisi A pergi dari (1, 4) ke (5, 1) dan kawasan segitiga ialah 15, apakah koordinat mungkin sudut ketiga segitiga?

Jawapan:

Kedua-dua titik itu membentuk asas panjang 5, jadi ketinggian mesti 6 untuk mendapatkan kawasan 15. Kaki adalah titik tengah titik, dan enam unit dalam arah tegak lurus memberikan # (33/5, 73/10)# atau #(- 3/5, - 23/10) #.

Penjelasan:

Tip Pro: Cuba bertumpu pada konvensyen huruf kecil untuk sisi segi tiga dan kapital untuk simpul segitiga.

Kami diberikan dua mata dan satu kawasan segitiga isosceles. Kedua-dua mata menjadikan asas, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Kaki # F # dari ketinggian adalah titik tengah dari dua titik, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Arah vektor dari antara titik adalah #(1-5, 4-1)=(-4,3)# dengan magnitud 5 hanya dikira. Kami mendapat vektor arah serenjang dengan menukar mata dan menafikan salah satu daripada mereka: #(3,4)# yang juga mesti mempunyai magnitud lima.

Sejak kawasan itu # A = frac 1 2 b h = 15 # kita mendapatkan # h = (2 * 15) /b=6.#

Jadi kita perlu bergerak #6# unit dari # F # dalam arah tegak sempit untuk mendapatkan puncak ketiga kami yang saya panggil # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) atau C = (- 3/5, - 23/10) #

Semak: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Kawasan yang ditandatangani adalah separuh produk salib

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Itulah akhir, tetapi mari kita umumkan jawapannya sedikit. Mari lupa bahawa ia adalah asosceles. Sekiranya kita mempunyai C (x, y), kawasan itu diberikan oleh formula kasut:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Kawasan ini #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # atau # -11 = 3x + 4y #

Oleh itu, jika puncak C berada pada salah satu daripada dua garis selari, kita akan mempunyai segitiga kawasan 15.

Biarkan # PR = A # menjadi sisi segitiga isosceles yang mempunyai koordinat titik akhir seperti berikut

#Pto (1,4) # dan #Rto (5,1) #

Biar koordinat titik ketiga segitiga itu # (x, y) #.

Sebagai # (x, y) # adalah sama dengan P dan R yang boleh kita tulis

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Sekali lagi # (x, y) # yang sama dari P dan R, tegak lurus jatuh dari # (x, y) # kepada # PR # mesti bisect it, Biar kaki ini berserenjang atau titik pertengahan # PR # menjadi # T #

Jadi koordinat #Tto (3,2.5) #

Ketinggian segitiga isosceles

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

Dan asas segitiga isosceles

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Jadi dengan masalah kawasannya

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Oleh 2 dan 1 kita dapat

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Jadi # y = 7.3 dan y = -2.3 #

bila # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

bila # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

Jadi koordinat titik ketiga akan

# (6.6,7.3) ke "Q dalam angka" #

ATAU

# (- 0.6, -2.3) kepada "S dalam angka" #