Bagaimana anda menyelesaikan 3 log x = 6 - 2x?

Jawapan:

Tidak pasti jika ia dapat diselesaikan

Jika anda benar-benar penasaran tentang nombor itu, jawapannya ialah:

# x = 2.42337 #

Penjelasan:

Selain daripada menggunakan kaedah Newton, saya tidak pasti sama ada mungkin untuk menyelesaikannya. Satu perkara yang boleh anda lakukan ialah membuktikan bahawa ia mempunyai tepat satu penyelesaian.

# 3logx = 6-2x #

# 3logx + 2x-6 = 0 #

Set:

#f (x) = 3logx + 2x-6 #

Ditakrifkan untuk #x> 1 #

#f '(x) = 3 / (xln10) + 2 #

#f '(x) = (3 + 2xln10) / (xln10) #

Untuk setiap #x> 1 # kedua-dua pengangka dan penyebut adalah positif, jadi fungsi semakin meningkat. Ini bermakna ia hanya boleh mempunyai maksimum satu penyelesaian (1)

Sekarang untuk mencari semua nilai #f (x) # #x> 1 # bermakna # x dalam (0, ya) #:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_x -> (0 ^ +) (3logx + 2x-6) = - oo #

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) (3logx + 2x-6) = oo #

Oleh itu, #f (x) # boleh mengambil apa-apa nilai sebenar, termasuk 0, yang bermaksud itu #f (x) = 0 <=> 3logx + 2x-6 = 0 # boleh menjadi penyelesaian sekurang-kurangnya sekali (2)

(1) + (2) = (Maksimum satu) + (Sekurang-kurangnya satu) = Tepat satu